KURNIA: BARISAN DAN DERET

A. Barisan dan Deret

Kalian tentu pernah berpikir tentang nomor rumah di sisi kiri jalan yang bernomor ganjil 1, 3, 5, 7, dan seterusnya, sedangkan nomor rumah di sisi kanan jalan bernomor genap 2, 4, 6, 8, dan seterusnya. Mungkin juga kalian pernah berpikir dari mana para pakar menyatakan bahwa 10 tahun ke depan penduduk Indonesia akan menjadi x juta jiwa.

Dua contoh di atas berkaitan dengan barisan dan deret dari suatu bilangan.

1. Barisan Bilangan

Misalkan seorang anak diberi uang saku orang tuanya setiap minggu Rp10.000,00. Jika setiap minggu uang sakunya bertambah Rp500,00 maka dapat dituliskan uang saku dari minggu ke minggu berikutnya adalah Rp10.000,00, Rp10.500,00, Rp11.000,00, Rp11.500,00, ....

Susunan bilangan-bilangan yang sesuai dengan contoh di atas adalah :

Perhatikan bahwa dari bilangan-bilangan yang disusun berbentuk 10.000, 10.500, 11.000, 11.500, ... mempunyai keteraturan dari urutan pertama, kedua, ketiga, keempat, dan seterusnya, yaitu bilangan berikutnya diperoleh dari bilangan sebelumnya ditambah 500. Bilangan-bilangan yang disusun urut dengan aturan tertentu seperti itulah dikenal dengan nama barisan bilangan.

Secara matematis, barisan bilangan merupakan nilai fungsi dengan daerah definisinya adalah bilangan asli. Misalkan barisan bilangan ditulis lambang U untuk menyatakan urutan suku-sukunya maka bilangan pertama ditulis U(1) atau U₁, bilangan kedua ditulis U(2) atau U₂, dan seterusnya. Jika kita buat korespondensi, akan terlihat seperti berikut.

Jadi, bentuk umum barisan bilangan adalah U₁, U₂, U₃, ..., U_n, ...

Dalam hal ini, U_n = f(n) disebut rumus umum suku ke-n dari barisan bilangan.

Contoh Soal Barisan Bilangan 1 :

Diketahui barisan bilangan dengan suku ke-n berbentuk U_n = n² – 2n. Tuliskan 5 suku pertama dari barisan tersebut.

Pembahasan :

Rumus suku ke-n adalah U_n = n² – 2n.

Suku pertama dapat dicari dengan menyubstitusikan n = 1 dan diperoleh U₁ = 1² – 2(1) = –1. Suku kedua dicari dengan mensubstitusikan n = 2 dan diperoleh U₂ = 2² – 2(2) = 0.

Dengan cara yang sama, diperoleh sebagai berikut.

Suku ketiga = U₃ = 3² – 2(3) = 3.

Suku keempat = U₄ = 4² – 2(4) = 8.

Suku kelima = U₅ = 5² – 2(5) = 15.

Jadi, lima suku pertama dari barisan itu adalah –1, 0, 3, 8, 15.

Misalkan diberikan suatu barisan bilangan dengan suku ke-n dari barisan bilangan tersebut tidak diketahui. Dapatkah kita menentukan rumus suku ke-n? Hal ini tidak selalu dapat ditentukan, tetapi pada beberapa barisan kita dapat melakukannya dengan memperhatikan pola suku-suku barisan tersebut.

Contoh Soal 2 :

Diketahui barisan bilangan 4, 7, 12, 19, ....

a. Tentukan rumus suku ke-n.

b. Suku keberapa dari barisan tersebut yang bernilai 199?

Penyelesaian :

Barisan bilangan: 4, 7, 12, 19, ...

a. Suku ke-1 = U₁ = 4 = 1² + 3

Suku ke-2 = U₂ = 7 = 2² + 3

Suku ke-3 = U₃ = 12 = 3² + 3

Suku ke-4 = U₄ = 19 = 4² + 3

Suku ke-n = U_n = n² + 3

Jadi, rumus suku ke-n barisan tersebut adalah U_n = n² + 3.

b. Diketahui suku ke-n = 199, berarti

U_n = 199

↔ n² + 3 = 199

↔ n² = 196

Karena n² = 196 maka n₁ = 14 atau n₂ = –14 (dipilih nilai n positif).

Mengapa tidak dipilih n = –14?

Jadi, suku yang nilainya 199 adalah suku ke-14.

2. Deret Bilangan

Misalkan kita mempunyai barisan bilangan U₁, U₂, U₃, ..., U_n dan S_n adalah jumlah dari suku-suku barisan itu.

S_n = S_n = U₁ + U₂ + U₃ + ... + U_n disebut deret.

Jadi, deret adalah jumlahan suku-suku dari suatu barisan.

B. Barisan dan Deret Aritmatika

1. Barisan Aritmatika

Indah menyisihkan sebagaian uang yang dimilikinya untuk disimpan. Pada bulan ke-1, ia menyimpan Rp 20.000,00. Bulan berikutnya ia selalu menaikkan simpanannya Rp 500,00 lebih besar dari bulan sebelumnya. Bear simpanan (dalam rupiah) Indah dari pertama dan seterusnya dapat ditulis sebagai berikut.

Bulan Ke-1	Bulan Ke-2	Bulan Ke-3	Bulan Ke-4	...
20.000	20.500	21.000	21.500	...

Jika kalian amati, selisih suku barisan ke suku berikutnya selalu tetap, yaitu 500.

Barisan aritmetika adalah suatu barisan bilangan yang selisih setiap dua suku berturutan selalu merupakan bilangan tetap (konstan).

Bilangan yang tetap tersebut disebut beda dan dilambangkan dengan b.

Perhatikan juga barisan-barisan bilangan berikut ini.

a. 1, 4, 7, 10, 13, ...

b. 2, 8, 14, 20, ...

c. 30, 25, 20, 15, ...

Barisan-barisan tersebut merupakan contoh dari barisan aritmatika.

Mari kita tinjau satu per satu.

a. Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya ditambah 3. Dapat dikatakan bahwa beda sukunya 3 atau b = 3.

b. Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya ditambah 6. Dapat dikatakan bahwa beda sukunya 6 atau b = 6.

c. Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya ditambah –5. Dapat dikatakan bahwa beda sukunya –5 atau b = –5. Secara umum dapat dikatakan sebagai berikut. Jika U_n adalah suku ke-n dari suatu barisan aritmetika maka berlaku b = U_n – U_n-1.

Rumus umum suku ke-n barisan aritmetika dengan suku pertama (U1) dilambangkan dengan a dan beda dengan b dapat ditentukan seperti berikut.

U₁= a

U₂ = U₁ + b = a + b

U₃ = U₂ + b = (a + b) + b = a + 2b

U₄ = U₃ + b = (a + 2b) + b = a + 3b

U₅ = U₄ + b = (a + 3b) + b = a + 4b

n = U_n–1 + b = a + (n – 1)b

Jadi, rumus suku ke-n dari barisan aritmatika adalah :

U_n = a + (n – 1)b

Keterangan:

U_n = suku ke-n

a = suku pertama

b = beda

n = banyak suku

Contoh Soal Barisan Aritmatika 3 :

Tentukan suku ke-8 dan ke-20 dari barisan –3, 2, 7, 12, ....

Jawaban :

–3, 2, 7, 12, …

Suku pertama adalah a = –3 dan bedanya b = 2 – (–3) = 5.

Dengan menyubstitusikan a dan b, diperoleh U_n = –3 + (n – 1)5.

Suku ke-8 : U₈ = –3 + (8 – 1)5 = 32.

Suku ke-20 : U₂₀ = –3 + (20 – 1)5 = 92.

Contoh Soal 4 :

Diketahui barisan aritmetika –2, 1, 4, 7, ..., 40. Tentukan banyak suku barisan tersebut.

Penyelesaian :

Diketahui barisan aritmetika –2, 1, 4, 7, ..., 40.

Dari barisan tersebut, diperoleh a = –2, b = 1 – (–2) = 3, dan U_n = 40.

Rumus suku ke-n adalah U_n = a + (n – 1)b sehingga :

40 = –2 + (n – 1)3

↔ 40 = 3n – 5

↔ 3n = 45

Karena 3n = 45, diperoleh n = 15.

Jadi, banyaknya suku dari barisan di atas adalah 15.

Contoh Soal 5 :

Suku ke-10 dan suku ke-14 dari barisan aritmetika berturut-turut adalah 7 dan 15. Tentukan suku pertama, beda, dan suku ke-20 barisan tersebut.

Pembahasan :

Diketahui U₁₀ = 7 dan U₁₄ = 15. Dari rumus suku ke-n barisan aritmetika U_n = a + (n – 1)b, diperoleh 2 persamaan, yaitu :

U₁₀ = 7 sehingga diperoleh a + 9b = 7 ............................ (1)

U₁₄ = 15 sehingga diperoleh a + 13b = 15 ........................ (2)

Untuk menentukan nilai a dan b, kita gunakan metode campuran antara eliminasi dan substitusi. Dari persamaan (1) dan (2), diperoleh :

a + 9b	= 7
a + 13b	= 15	-
–4b	= –6	-
b	= 2

Dengan menyubstitusikan b = 2 ke persamaan (1), diperoleh :

a + 9(2) = 7 ↔ a = –11

Dengan demikian, diperoleh suku ke-n adalah U_n = –11 + (n – 1)2.

Jadi, suku ke-20 adalah U₂₀ = –11 + (20 – 1)2 = 27.

Pola Kuadrat dari Bilangan 9

Apakah hasil kuadrat bilangan yang disusun dari angka 9 memiliki pola tertentu? Betul sekali. Hasil kuadratnya hanya tersusun dari angka 9, 8, 1, dan 0. Jika bilangan terdiri atas n digit angka 9 (n bilangan bulat kurang dari 10) maka kuadrat bilangan tersebut adalah bilangan yang tersusun dari angka 9 sebanyak n – 1, diikuti angka 8, kemudian angka 0 sebanyak n – 1, dan diakhiri angka 1. Perhatikan pola berikut.

92 = 81

992 = 9801

9992 = 998001

99992 = 99980001

999992 = 9999800001

9999992 = 999998000001

Setelah memperhatikan pola di atas, coba kalian tentukan hasil dari :

a. 9999999²

b. 99999999²

c. 999999999²

2. Deret Aritmetika

Dari sembarang barisan aritmetika, misalnya 2, 5, 8, 11, 14, ... dapat dibentuk suatu deret yang merupakan penjumlahan berurut dari suku-suku barisan tersebut, yaitu 2 + 5 + 8 + 11 + .... Terlihat bahwa barisan aritmetika dapat dibentuk menjadi deret aritmetika dengan cara menjumlahkan suku-suku barisan aritmetika sehingga dapat didefinisikan secara umum.

Misalkan U₁, U₂, U₃, ..., U_n merupakan suku-suku dari suatu barisan aritmetika. U₁ + U₂ + U₃ + ... + U_n disebut deret aritmetika, dengan :

U_n = a + (n – 1)b.

Seperti telah kalian ketahui, deret aritmetika adalah jumlah n suku pertama barisan aritmetika. Jumlah n suku pertama dari suatu barisan bilangan dinotasikan S_n. Dengan demikian,

S_n = U₁ + U₂ + U₃ + ... + U_n.

Untuk memahami langkah-langkah menentukan rumus S_n, perhatikan contoh berikut.

Contoh Soal Deret Aritmatika 6 :

Diketahui suatu barisan aritmetika 2, 5, 8, 11, 14. Tentukan jumlah kelima suku barisan tersebut.

Pembahasan :

Jumlah kelima suku 2, 5, 8, 11, 14 dapat dituliskan sebagai berikut.

S₅ =	2 + 5 + 8 + 11 + 14
S₅ =	14 + 11 + 8 + 5 + 2	+
2S₅ =	16 + 16 + 16 + 16 + 16	+
2S₅ =	5 x 16
S₅ =	$\frac{5x6}{2}=40$

Jadi, jumlah kelima suku barisan tersebut adalah 40.

Setelah kalian amati contoh di atas, kita dapat menentukan rumus umum untuk Sn sebagai berikut.

Diketahui rumus umum suku ke-n dari barisan aritmetika adalah Un = a + (n – 1)b. Oleh karena itu,

U₁ =	a			= a
U₂ =	a	+	b	= U_n – (n – 2)b
U₃ =	a	+	2b	= U_n – (n – 3)b
.			.	.
.			.	.
.			.	.
U_n =	a	+	(n – 1)b	= U_n

Dengan demikian, diperoleh :

S_n = a + (a + b) + (a + 2b) + ... + (a + (n – 1)b)

= a + (U_n – (n – 2) b) + (U_n – (n – 3) b) + ... + U_n............ (1)

Dapat pula dinyatakan bahwa besar setiap suku adalah b kurang dari suku berikutnya.

U_n–1 = Un – b

U_n–2 = U_n–1 – b = U_n – 2b

U_n–3 = U_n–2 – b = U_n – 3b

Demikian seterusnya sehingga Sn dapat dituliskan

S_n = a + (U_n – (n – 1)b) + … + (U_n – 2b) + (U_n – b) + U_n ...... (2)

Dari persamaan 1 dan 2 jika kita jumlahkan, diperoleh :

jumlah n suku pertama barisan aritmatika

Dengan demikian, 2S_n = n(a + U_n)

↔ Sn = ½ n(a + U_n)

↔ Sn = ½ n(a + (a + (n – 1)b))

↔ Sn = ½ n(2a + (n – 1)b)

Jadi, rumus umum jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah :

S_n = ½ n(a + U_n) atau

S_n = ½ n [2a + (n – 1)b]

Keterangan:

S_n= jumlah n suku pertama

a = suku pertama

b = beda

U_n = suku ke-n

n = banyak suku

Contoh Soal 7 :

Carilah jumlah 100 suku pertama dari deret 2 + 4 + 6 + 8 + ....

Jawaban :

Diketahui bahwa a = 2, b = 4 – 2 = 2, dan n = 100.

S₁₀₀ = ½ × 100 {2(2) + (100 – 1)2}

= 50 {4 + 198}

= 50 (202)

= 10.100

Jadi, jumlah 100 suku pertama dari deret tersebut adalah 10.100.

Contoh Soal 8 :

Hitunglah jumlah semua bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari 100.

Pembahasan :

Bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari 100 adalah 3, 6, 9, 12, ..., 99 sehingga diperoleh a = 3, b = 3, dan U_n = 99.

Terlebih dahulu kita cari n sebagai berikut.

U_n = a + (n – 1)b

↔ 99 = 3 + (n – 1)3

↔ 3n = 99

↔ n = 33

Jumlah dari deret tersebut adalah :

S_n = ½ n(a + U_n)

S₃₃ = ½ × 33(3 + 99)

= 1.683

Jadi, jumlah bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari 100 adalah 1.683.

Contoh Soal 9 :

Dari suatu deret aritmetika diketahui suku pertamanya 11, bedanya 4, dan jumlah n suku pertamanya adalah 200. Tentukan banyaknya suku dari deret tersebut.

Pembahasan :

Diketahui a = 11, b = 4, dan Sn = 200.

Dari rumus umum jumlah n suku pertama, diperoleh :

S_n = ½ n(2a + (n – 1)b)

↔ 200 = ½ n [2(11) + (n – 1)4]

↔ 400 = n(22 + 4n – 4)

↔ 400 = n(4n + 18)

↔ 4n² + 18n – 400 = 0

Jika setiap suku dibagi 2, persamaan tersebut menjadi :

2n² + 9n – 200 = 0

↔ (n – 8)(2n + 25) = 0

↔ n = 8 atau n = $-\frac{25}{2}$ (diambil n positif karena n bilangan asli)

Jadi, banyak suku deret tersebut adalah 8.

Mennntukan Suku ke-n jika Rumus Jumlah n Suku Pertama Diberikan

Misalkan diberikan suku ke-n barisan aritmetika S_n. Rumus suku ke-n dapat ditentukan dengan

U_n = S_n – S_n–1

Selain dengan menggunakan rumus itu, ada cara lain yang sangat efektif. Misalkan jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah :

S_n = pn² + qn.

Suku ke-n dapat ditentukan dengan :

U_n = 2pn + (q – p)

dengan beda 2p.

Contoh Soal 10 :

Jumlah n suku pertama dari deret aritmetika adalah S_n = 2n² – 4n. Tentukan suku ke-n deret tersebut dan bedanya. Tentukan pula U₉.

Penyelesaian :

S_n = 2n² – 4n → p = 2, q = –4

U_n = 2pn + (q – p)

= 2 x 2 x n + (–4 – 2)

= 4n – 6

Beda = 2p = 2(2) = 4

Suku ke-10 dapat ditentukan dengan U₉ = S₉ – S₈

S⁹ = 2(9²) – 4(9) = 126

S₈ = 2(8²) – 4(8) = 96

Jadi, U⁹ = 126 – 96 = 30

Teorema yang Mengharukan

Apakah kamu tahu teorema yang dikemukakan Pierre de Fermat (1601–1665)? Teorema ini dikembangkan dari teorema Pythagoras yang sangat masyur itu. Menurut teorema Pythagoras, ada banyak pasangan bilangan a, b, dan c yang memenuhi c² = a² + b², seperti 5, 3, dan 4 (beserta kelipatannya); 13, 12, dan 5 (beserta kelipatannya); 25, 24, dan 7 (beserta kelipatannya); dan seterusnya.

Pierre de Fermat mengklaim, tidak ada bilangan bulat a, b, dan c yang memenuhi cⁿ = aⁿ + bⁿ, untuk n > 2. Namun, pembuktiannya saat itu masih dipertanyakan. Banyak ilmuwan yang penasaran dengan teorema yang dilontarkan Fermat. Paul Wolfskehl, profesor matematik asal Jerman, awal tahun 1900-an berusaha membuktikan teorema tersebut, namun gagal. Rasa frustasi menyelimutinya, ditambah kekecewaan pada kekasihnya membuat ia berniat bunuh diri. Ketika waktu untuk bunuh diri sudah dekat, ia masih penasaran dan mencoba lagi membuktikan Teorema Fermat membuat dia lupa untuk bunuh diri. Sampai akhir hayatnya, teorema ini belum juga terbuktikan. Wolfskehl berwasiat, ia menyediakan uang 100.000 mark bagi orang pertama yang mampu membuktikan teorema itu. Tahun 1995, Dr. Andrew Wiles, matematikawan dari Universitas Princeton, Inggris, berhasil membuktikan teorema Fermat dengan gemilang. Ia akhirnya mendapat hadiah 200.000 dolar dari Yayasan Raja Faisal di Arab Saudi pada tahun 1997. (Sumber: www.mate-mati-kaku.com)

C. Barisan dan Deret Geometri

1. Barisan Geometri

Coba kalian amati barisan 1, 2, 4, 8, 16, 32, .... Terlihat, suku berikutnya diperoleh dengan mengalikan 2 pada suku sebelumnya. Barisan ini termasuk barisan geometri. Jadi, secara umum, barisan geometri adalah suatu barisan bilangan yang setiap sukunya diperoleh dari suku sebelumnya dikalikan dengan suatu bilangan tetap (konstan). Bilangan yang tetap tersebut dinamakan rasio (pembanding) dan dinotasikan dengan r.

Perhatikan contoh barisan-barisan berikut.

a. 3, 6, 12, 24, ...

b. 2, 1, ½, 1/4, ...

c. 2, –4, 8, –16, ...

Barisan di atas merupakan contoh barisan geometri. Untuk barisan di atas berturut-turut dapat dihitung rasionya sebagai berikut.

a. $\frac{6}{3}=\frac{12}{6}=\frac{24}{12}$ = ..... = 2. Jadi, r = 2.

b. $\frac{1}{2}=\frac{\frac{1}{2}}{1}=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}}$ = .... Jadi, r = ½

c. $\frac{-4}{2}=\frac{8}{-4}$ = –2. Jadi, r = –2.

Dengan demikian, dapat disimpulkan jika U₁, U₂, ... U_n barisan geometri dengan U_n adalah rumus ke-n, berlaku :

$r=\frac{U_{n}}{U_{n-1}}$

Rumus umum suku ke-n barisan geometri dengan suku pertama (U1) dinyatakan a dan rasio r, dapat diturunkan sebagai berikut.

U₁ =	a
U₂ =	U₁ × r = ar
U₃ =	U₂ × r = ar²
U₄ =	U₃ × r = ar³
.	.
.	.
.	.
U_n =	U_n_–1 × r = arⁿ^–2 × r = arⁿ^–1

Dengan demikian, diperoleh barisan geometri a, ar, ar², ..., ar^n–1, ...

Jadi, rumus umum suku ke-n (U_n) barisan geometri adalah :

U_n = arⁿ^–1

Keterangan:

a = suku pertama

r = rasio

n = banyak suku

Contoh Soal Barisan Geometri 11 :

Carilah suku pertama, rasio, dan suku ke-7 dari barisan geometri berikut.

a. 2, 6, 18, 54, ...
b. 9, –3, 1, -1/3 , ...

Jawaban :

a. 2, 6, 18, 54, ...

Dari barisan geometri di atas, diperoleh :

1) suku pertama: a = 2;

2) rasio: r = ... = ... = 3.

Karena rumus suku ke-n barisan geometri adalah :

U_n = arⁿ^–1 maka

U₇ = 2(3^7–1) = 2 × 729 = 1.458

b. 9, –3, 1, $-\frac{1}{3}$ , ....

Dari barisan ini, diperoleh :

1) suku pertama: a = 9;

2) rasio: r = $\frac{U_{2}}{U_{1}}=\frac{-3}{9}=-\frac{1}{3}$ ;

3) suku ke-7: U₇ = $9\left ( -\frac{1}{3} \right )^{7-1}=9\left (\frac{-1}{3} \right )^{6}=\frac{9}{\left ( -3 \right )^{6}}=\frac{1}{81}$

Contoh Soal 12 :

Tiga bilangan membentuk barisan geometri. Jumlah ketiga bilangan itu 21 dan hasil kalinya 216. Tentukan ketiga bilangan itu.

Penyelesaian :

Pemisalan yang mudah untuk barisan geometri adalah $\frac{a}{r}$ , a, dan ar.

Jumlah ketiga bilangan itu adalah 21 maka $\frac{a}{r}$ + a + ar = 21.

Hasil kali ketiga bilangan adalah 216 maka $\frac{a}{r}$ × a × ar = 216 ↔ a3 = 216

Karena a³ = 216, diperoleh a = 6. Kemudian, substitusikan nilai a = 6 ke persamaan $\frac{a}{r}$ + a + ar = 21 sehingga diperoleh hasil sebagai berikut.

$\frac{6}{r}$ + 6 + 6r = 21 ........... (kedua ruas dikalikan dengan r)

↔ 6 + 6r + 6r² = 21r

↔ 6 – 15r + 6r² = 0 ........................... (kedua ruas dibagi 3)

↔ 2r² – 5r + 2 = 0

↔ (2r – 1)(r – 2) = 0

↔ 2r – 1 = 0 atau r – 2 = 0

↔ r = ½ atau r = 2

Dari persamaan di atas, diperoleh r = ½ dan r = 2.

Untuk r = ½ dan a = 6, ketiga bilangan tersebut 12, 6, dan 3.

Untuk r = 2 dan a = 6, ketiga bilangan tersebut 3, 6, dan 12.

Pola Bilangan yang Indah

Perhatikan pola bilangan berikut.

1 × 8 + 1 = 9

12 × 8 + 2 = 98

123 × 8 + 3 = 987

1234 × 8 + 4 = 9876

12345 × 8 + 5 = 98765

123456 × 8 + 6 = 987654

Bandingkan dengan pola bilangan berikut.

0 × 9 + 1 = 1

1 × 9 + 2 = 11

12 × 9 + 3 = 111

123 × 9 + 4 = 1111

1234 × 9 + 5 = 11111

12345 × 9 + 6 = 111111

123456 × 9 + 7 = 1111111

Dari kedua pola bilangan di atas, dapatkah kalian menemukan bentuk umumnya?

Dengan memerhatikan bentuk umum kedua pola bilangan di atas, tentu kalian dapat dengan mudah menentukan hasil dari pertanyaan berikut.

a. 1234567 × 8 + 7 = ...

b. 12345678 × 8 + 8 = ...

c. 123456789 × 8 + 9 = ...

d. 1234567 × 9 + 8 = ...

e. 12345678 × 9 + 9 = ...

Coba kalian kerjakan.

2. Deret Geometri

Jika U₁, U₂, U₃, ... U_n merupakan barisan geometri maka U₁ + U₂ + U₃ + ... + U_n adalah deret geometri dengan U_n = ar^n–1. Rumus umum untuk menentukan jumlah n suku pertama dari deret geometri dapat diturunkan sebagai berikut.

Misalkan Sn notasi dari jumlah n suku pertama.

S_n = U₁ + U₂ + ... + U_n

S_n = a + ar + ... + ar^n–2 + ar^n–1 .............................................. (1)

Jika kedua ruas dikalikan r, diperoleh :

rS_n = ar + ar² + ar³ + ... + ar^n–1 + arⁿ ................................... (2)

Dari selisih persamaan (1) dan (2), diperoleh :

rS_n =		ar + ar² + ar³ + ... + ar^n–1 + arⁿ
S_n =	a +	ar + ar² + ar³ + ... + ar^n–1	-
rS_n - S_n=	–a + arⁿ		-

↔ (r – 1)S_n = a(r^n–1)

↔ S_n = $\frac{a\left ( r^{n}-1 \right )}{r-1}$

Jadi, rumus umum jumlah n suku pertama dari deret geometri adalah sebagai berikut.

S_n = $\frac{a\left ( r^{n}-1 \right )}{r-1}$ , untuk r > 1

S_n = $\frac{a\left ( 1-r^{n} \right )}{r-1}$ , untuk r < 1

Keterangan:

S_n = jumlah n suku pertama

a = suku pertama

r = rasio

n = banyak suku

Apa yang terjadi jika r bernilai 1?

Contoh Soal Deret Geometri 13 :

Tentukan jumlah dari deret geometri berikut.

a. 2 + 4 + 8 + 16 + ... (8 suku)

b. 12 + 6 + 3 + 1,5 + ... (6 suku)

Pembahasan :

a. 2 + 4 + 8 + 16 + ...

Dari deret tersebut, diperoleh a = 2 dan r = 4/2 = 2 (r > 1).

Jumlah deret sampai 8 suku pertama, berarti n = 8.

S_n = $\frac{a\left ( r^{n}-1 \right )}{r-1}$ ↔ S₈ = $\frac{2\left ( 2^{8}-1 \right )}{2-1}$ = 2(256 – 1) = 510

Jadi, jumlah 8 suku pertama dari deret tersebut adalah 510.

b. 12 + 6 + 3 + 1,5 + ...

Dari deret itu, diperoleh a = 12 dan r = $\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$ (r < 1).

Jumlah deret sampai 6 suku pertama, berarti n = 6.

S_n = $\frac{a\left ( 1-r^{n} \right )}{r-1}$ ↔ S₆ = $\frac{12\left ( 1-\left ( \frac{1}{2} \right )^{6} \right )}{1-\frac{1}{2}}$ = 24(1- $\frac{1}{64}$ ) = $23\frac{5}{8}$

Contoh Soal 14 :

Diketahui deret 3 + 3² + 3³ + ... + 3ⁿ = 363. Tentukan :

a. suku pertama;

b. rasio;
c. banyak suku.

Penyelesaian :

Deret 3 + 3² + 3³ + ... + 3ⁿ = 363

a. Suku pertama: a = 3

b. Rasio: r = ... = .... = 3

c. Untuk S_n = 363

Karena r = 3 > 1, kita gunakan rumus :

S_n = $\frac{a\left ( r^{n}-1 \right )}{r-1}$

↔ 363 = $\frac{3\left ( 3^{n}-1 \right )}{3-1}$

↔ 726 = 3ⁿ⁺¹ – 3

↔ 3ⁿ⁺¹ = 729

↔ 3ⁿ⁺¹ = 36

Dengan demikian, diperoleh n + 1 = 6 atau n = 5. Jadi, banyak suku dari deret tersebut adalah 5.

Contoh Soal 15 :

Carilah n terkecil sehingga S_n > 1.000 pada deret geometri 1 + 4 + 16 + 64 + ...

Kunci Jawaban :

Dari deret tersebut, diketahui a = 1 dan r = 4 (r > 1) sehingga jumlah n suku pertamanya dapat ditentukan sebagai berikut.

S_n = $\frac{a\left ( r^{n}-1 \right )}{r-1}=\frac{1\left ( 4^{n}-1 \right )}{4-1}=\frac{4^{n}-1}{3}$

Nilai n yang mengakibatkan S_n > 1.000 adalah :

$\frac{4^{n}-1}{3}$ > 1.000 ↔ 4ⁿ > 3.001

Jika kedua ruas dilogaritmakan, diperoleh :

log 4ⁿ > log 3.001

↔ n log 4 > log 3.001

↔ n > $\frac{log\: 3.001}{log\: 4}$

↔ n > 5,78 (Gunakan kalkulator untuk menentukan nilai logaritma)

Jadi, nilai n terkecil agar S_n > 1.000 adalah 6.

Contoh Soal 16 :

Tentukan rumus jumlah n dari deret 1 + 11 + 111 + 1.111 + ...

Penyelesaian :

Jika kalian perhatikan sekilas, deret ini bukan merupakan deret aritmetika maupun geometri. Namun, coba perhatikan penjabaran berikut.

3. Deret Geometri Tak Berhingga

Deret geometri yang tidak dapat dihitung banyak seluruh sukunya disebut deret geometri tak berhingga.

Perhatikan deret geometri berikut.

a. 1 + 2 + 4 + 8 + ...

c. 1 + $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{4}$ + ....

d. 9 – 3 + 1 – $\frac{1}{3}$ + .....

Deret-deret di atas merupakan contoh deret geometri tak berhingga.

Dari contoh a dan b, rasionya berturut-turut adalah 2 dan –2.

Jika deret tersebut diteruskan maka nilainya akan makin besar dan tidak terbatas. Deret yang demikian disebut deret divergen, dengan | r | > 1. Sebaliknya, dari contoh c dan d, rasio masing-masing deret 1/2 dan –1/3. Dari contoh c dan d, dapat kita hitung pendekatan jumlahnya. Deret tersebut dinamakan deret konvergen dengan | r | < 1. Pada deret konvergen, jumlah suku-sukunya tidak akan melebihi suatu harga tertentu, tetapi akan mendekati harga tertentu. Harga tertentu ini disebut jumlah tak berhingga suku yang dinotasikan dengan S_∞ . Nilai S_∞ merupakan nilai pendekatan (limit) jumlah seluruh suku (S_n) dengan n mendekati tak berhingga. Oleh karena itu, rumus deret tak berhingga dapat diturunkan dari deret geometri dengan suku pertama a, rasio r dan n → ∞ .

$S_{\infty}=\lim_{n\rightarrow \infty}\: S_{n}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{a\left ( 1-r^{n} \right )}{1-r}$

Karena deret konvergen (| r | < 1), untuk n → ∞ maka r_n → 0 sehingga :

$S_{\infty}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{a\left ( 1-r^{n} \right )}{1-r}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{a-ar^{n} }{1-r}=\frac{a-0}{1-r}=\frac{a}{1-r}$

Jadi, rumus jumlah deret geometri tak berhingga adalah :

$S_{\infty}=\frac{a}{1-r}$ , dengan | r | < 1

Contoh Soal Deret Geometri Tak Terhingga 17 :

Tentukan jumlah tak berhingga suku dari deret berikut.

a. 1 + $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{4}$ + $\frac{1}{8}$ + ...

b. $2^{2+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...}$

Pembahasan :

a. 1 + $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{4}$ + $\frac{1}{8}$ + ...

Dari deret tersebut diketahui a = 1 dan r = ½ sehingga :

$S_{\infty}=\frac{a}{1-r}=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$

b. $2^{2+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...}$

Perhatikan deret 2 + 1 + $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{4}$ + $\frac{1}{16}$ + ....

Dari deret tersebut, diperoleh a = 2 dan r = ½.

$S_{\infty}=\frac{a}{1-r}=\frac{2}{1-\frac{1}{2}}=4$
Jadi, $2^{2+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...}$ = 2⁴ = 16.

Contoh Soal 18 :

Suku pertama suatu deret geometri adalah 2 dan jumlah sampai tak berhingga adalah 4. Carilah rasionya.

Penyelesaian :

Dari soal di atas, unsur-unsur yang diketahui adalah a = 2 dan S_∞ = 4.

Kita substitusikan ke dalam rumus S_∞ .

S = $\frac{a}{1-r}$ ↔ 4 = $\frac{2}{1-r}$

↔ 1 – r = ½ .

↔ r = ½

Jadi, rasionya adalah ½.

Contoh Soal 19 :

Sebuah bola jatuh dari ketinggian 10 m dan memantul kembali dengan ketinggian 3/4 kali tinggi sebelumnya. Pemantulan berlangsung terus-menerus sehingga bola berhenti. Tentukan jumlah seluruh lintasan bola. (UMPTN 1995)

Jawaban :

U₀ = 10 m; r = 3/4.

U₁ = 3/4 x 10 m = 3/40 m

S_n = 10 + 2 S_∞ = = 10 + (2 × $\frac{U_{1}}{1-r}$ ) = 10 + (2 × $\frac{\frac{30}{4}}{1-\frac{3}{4}}$ ) = 10 + (2 × 30) = 70.

Dengan cara lain:

Misalnya suatu benda dijatuhkan dari ketinggian H₀ secara vertikal dan memantul ke atas dengan tinggi pantulan a/b kali dari ketinggian semula maka panjang lintasan pantulan (H) hingga berhenti dirumuskan dengan:

$H=\left ( \frac{b+a}{b-a} \right )H_{0}$